Question

【题目】已知四棱锥的底面是等腰梯形，，，，，.

(1)证明:平面平面；

(2)点E是棱PC上一点，且平面，求二面角的正弦值

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2)

【解析】

（1）利用勾股定理可以得出，即，由线面垂直的判定定理，证得平面PBD；（2）建立直角坐标系，求出平面EOB、平面AOB的法向量，得出两个法向量的夹角余弦值，进而求得夹角的正弦值．

(1)证明:等腰梯形中，

又，∴，∴.

∴，∴，即

又∵，且，∴平面，

又∵平面，∴平面平面

(2)连接，由(1)知，平面，∴

∴

∴，即

如图，以OA，OB，OP所在直线分别为x轴，y轴z轴建立空间直角坐标系

则，，平面的法向量

∵平面，平面

平面平面，∴，

设平面EOB的法向量为，则⊥，即，

⊥⊥，

令，则

∴，

∴所求二面角的正弦值是.