Question

已知函数f（x）=

x-2

ax+1

(a＞1，x∈R，x≠-

1

a

)；
（1）试问：该函数的图象上是否存在不同的两点，它们的函数值相同，请说明理由；
（2）若函数F（x）=a^x+f（x），试问：方程F（x）=0有没有负根，请说明理由．
（3）记G（x）=|a^x-b|-b•a^x，（x∈R），若G（x）有最小值，求b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据已知中函数f（x）=

x-2

ax+1

，我们令f（x₁）=f（x₂），然后代入函数的解析式，再根据实数的性质得到（2a+1）（x₁-x₂）=0，结合a＞1，可得等式成立的唯一条件是：x₁=x₂．进而得到结论；
（2）由已知中函数F（x）=a^x+f（x），我们可以求出函数F（x）的解析式，进而根据基本初等函数的性质及函数单调性的性质判断出函数F（x）在区间（-∞，0]上的单调性，进而根据F（0）的值，得到结论；
（3）由已知中G（x）=|a^x-b|-b•a^x，我们分b＜0和b≥0两种情况，进行分类讨论，分别讨论两种情况下函数的单调性，进而得到G（x）有最小值时，b的取值范围．

解答：解：（1）令f（x₁）=f（x₂）

x1-2

ax1+1

=

x2-2

ax2+1

化简得：（2a+1）（x₁-x₂）=0
因为a＞1．所以等式成立的唯一条件是：x₁=x₂．
∴函数的图象上不存在不同的两点，它们的函数值相同
（2）F（x）=a^x+f（x）=a^x

x-2

ax+1

a＞1，所以a^x在区间（-∞，0]上为增函数，而f（x）在区间（-∞，0]上也是增函数．
根据函数单调性的性质：在同一单调区间内增函数+增函数，还是增函数．
可得函数F（x）=a^x+f（x）在区间（-∞，0]上为增函数
又因为F（0）=-1
所以当x＜0时，f（x）＜-1
所以就不存在x＜0，使得f（x）=0．
即方程F（x）=0没有负根
（3）a^x＞0，
如果b＜0，则：g（x）=（1-b）a^x-b，为单调递增函数，无最小值．
如果b≥0，则：
当a^x＞b时，g（x）=（1-b）a^x-b，
当a^x＜b时，g（x）=-（1+b）a^x+b，
因为在两个开区间内，g（x）都是单调函数．
所以，要取得最小值的条件是，g（x）在（-∞，b]为减函数，在[b，∞）为增函数．
所以：
1-b＞0
-（1+b）＜0
又∵b≥0
解得：0≤b＜1

点评：本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，函数最小值及其几何意义，其中（1）的关键是构造方程，然后根据已知条件得到等式成立的唯一条件是：x₁=x₂．（2）的关键是根据基本初等函数的性质及函数单调性的性质判断出函数F（x）在区间（-∞，0]上的单调性，（3）的关键确定分类标准，然后讨论各种情况下，函数的单调性并进而确定是否存在最小值．