分析 先求二项式展开式的通项公式,求出第二项系数,从而求出a的值,然后根据定积分的运算法则进行求解即可.
解答 解:二项式${({|a|x-\frac{{\sqrt{3}}}{6}})^3}$的展开式的通项为Tr+1=${C}_{3}^{r}$(|a|x)3-r(-$\frac{\sqrt{3}}{6}$)r,
∵展开式的第二项的系数为$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$,
∴${C}_{3}^{1}$|a|3-1(-$\frac{\sqrt{3}}{6}$)1=$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$,
解得:a=±1,
当a=-1时,$\int_{-2}^a{{x^2}dx}$=${∫}_{-2}^{-1}$x2dx=$\frac{1}{3}{x}^{3}$${|}_{-2}^{-1}$=$\frac{1}{3}$[-1-(-8)]=$\frac{7}{3}$,
当a=1时,$\int_{-2}^a{{x^2}dx}$=${∫}_{-2}^{1}$x2dx=$\frac{1}{3}{x}^{3}$${|}_{-2}^{1}$=$\frac{1}{3}$[1-(-8)]=3,
∴$\int_{-2}^a{{x^2}dx}$的值为3或$\frac{7}{3}$.
故答案为:3或$\frac{7}{3}$.
点评 本题主要考查了二项式定理的应用,二项式展开式的通项公式,求展开式中某项的系数,二项式系数的性质,求定积分的值,属于中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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A. | $\frac{1}{8}$ | B. | $\frac{5}{4}$ | C. | $\frac{9}{4}$ | D. | $\frac{17}{8}$ |
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