Question

17．设椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，一组平行直线的斜率是$\frac{3}{2}$
（1）这组直线何时与椭圆相交？
（2）当它们与椭圆相交时，求它们中点的轨迹方程．

Answer 1

分析 （1）设这组直线为y=$\frac{3}{2}$x+m，与椭圆方程联立化为：9x²+6mx+2m²-18=0，令△＞0，解得m范围即可得出．
（2）设弦AB的中点为M（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．则$\frac{{x}_{1}^{2}}{4}+\frac{{y}_{1}^{2}}{9}$=1，$\frac{{x}_{2}^{2}}{4}+\frac{{y}_{2}^{2}}{9}=1$，相减利用中点坐标公式、斜率计算公式即可得出．

解答 解：（1）设这组直线为y=$\frac{3}{2}$x+m，联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{2}x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{9}=1}\end{array}\right.$，化为：9x²+6mx+2m²-18=0，
令△=36m²-36（2m²-18）＞0，解得$-3\sqrt{2}＜m＜3\sqrt{2}$．
∴这组直线的截距在范围$（-3\sqrt{2}，3\sqrt{2}）$时与椭圆相交．
（2）设弦AB的中点为M（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
则$\frac{{x}_{1}^{2}}{4}+\frac{{y}_{1}^{2}}{9}$=1，$\frac{{x}_{2}^{2}}{4}+\frac{{y}_{2}^{2}}{9}=1$，
相减可得：$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{4}$+$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1}-{y}_{2}）}{9}$=0，
把$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=x，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=y，$\frac{3}{2}$=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$，代入可得：
$\frac{2x}{4}+\frac{2y}{9}×\frac{3}{2}$=0，
化为3x+2y=0．
∴它们中点的轨迹方程是直线3x+2y=0在椭圆内部的部分．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、“中点弦”问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．