Question

（本小题满分13分）

如图，正三棱柱中，D是BC的中点，

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求证：；

（Ⅲ）求三棱锥的体积.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）证明：由ABC—A₁B₁C₁是正三棱柱，得出BB₁⊥平面ABC，在正△ABC中，得到AD⊥BD，根据三垂线定理得，AD⊥B₁D。

（Ⅱ）解：连接A₁B，设A₁B∩AB₁ = E，连接DE.由四边形A₁ABB₁是正方形，

确定DE∥A₁C.推出A₁C∥平面AB₁D.

（Ⅲ）。

【解析】

试题分析：（Ⅰ）证明：∵ABC—A₁B₁C₁是正三棱柱，

∴BB₁⊥平面ABC，

∴BD是B₁D在平面ABC上的射影

在正△ABC中，∵D是BC的中点，

∴AD⊥BD，

根据三垂线定理得，AD⊥B₁D

（Ⅱ）解：连接A₁B，设A₁B∩AB₁ = E，连接DE.

∵AA₁=AB ∴四边形A₁ABB₁是正方形，

∴E是A₁B的中点，

又D是BC的中点，

∴DE∥A₁C. ………………………… 7分

∵DE平面AB₁D，A₁C平面AB₁D，

∴A₁C∥平面AB₁D. ……………………9分 

（Ⅲ）  ……13分

考点：本题主要考查立体几何中的平行关系、垂直关系、体积计算。

点评：典型题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中，有“几何法”和“向量法”。利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤，（3）小题，体积计算应用了等积法，实现了化难为易。