Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，其中且．设．

（）若，，，求方程在区间内的解集．

（）若函数满足：图象关于点对称，在处取得最小值，试确定、和应满足的与之等价的条件．

Answer 1

【答案】（1）解集为；（2）见解析.

【解析】分析：（）由平面向量数量积公式、结合辅助角公式可得，令，从而可得结果；（）“图象关于点对称，且在处取得最小值”．因此，根据三角函数的图象特征可以知道，，故有，

∴，，当且仅当，时，的图象关于点对称；此时，，对讨论两种情况可得使得函数满足“图象关于点对称，且在处取得最小值的充要条件”是“，时，，；或当时，，”.

详解：（）根据题意，

当，，时，

，，

则有或，．

即或，．

又因为，故在内的解集为．

（）解：因为，设周期．

因为函数须满足“图象关于点对称，且在处取得最小值”．

因此，根据三角函数的图象特征可以知道，，

故有，

∴，，

又因为，形如的函数的图象的对称中心都是的零点，

故需满足，而当，时，

因为，；

所以当且仅当，时，

的图象关于点对称；

此时，，

∴，．

（i）当，时，，进一步要使处取得最小值，

则有，

∴，故，．

又，则有，，

因此，由可得，．

（ii）当时，，进一步要使处取得最小值，

则有；

又，则有，．

因此，由，可得，．

综上，使得函数满足“图象关于点对称，且在处取得最小值的充要条件”是“，时，，；或当时，，”．