Question

如图，一辆汽车从O点出发，沿海岸一条直线公路以100千米/时的速度向东匀速行驶，汽车开动时，在O点南偏东方向距O点500千米且与海岸距离MQ为300千米的海上M处有一快艇，与汽车同时出发，要把一件重要的物品递送给这辆汽车的司机，问快艇至少须以多大的速度行驶，才能把物品递送到司机手中，并求快艇以最小速度行驶时的方向与OM所成的角.

Answer 1

解：设快艇从M处以v千米/时的速度出发，沿MN方向航行，
t小时后与汽车相遇………………………………1分.
在△MON中，MO=500,ON=100t,MN=vt.……………………2分
设∠MON=α，
由题意,知sinα=,则cosα=.……………………4分
由余弦定理,知MN²=OM²+ON²-2OM·ONcosα,
即v²t²=500²+100²t²-2×500×100t×.
整理，得v²=(500×-80)²+3 600.……………………7分
当=,即t=时,v_min²="3" 600.
∴v_min=60,…………………………………………9
即快艇至少须以60千米/时的速度行驶，此时MN=60×=15×25,MQ=300.
设∠MNO=β，则sinβ==.
∴cosα=sinβ.
∴α+β=90°,即MN与OM垂直.………………………………12分

解析