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15.已知半径为5的圆的圆心在x轴上,圆心的横坐标是整数,且与直线4x+3y-29=0相切.
(1)求圆的方程;
(2)设直线kx-y+5=0与圆相交于A,B两点,求实数k的取值范围;
(3)在(2)的条件下,是否存在实数k,使得过点P(2,-4)的直线l垂直平分弦AB?若存在,求出实数k的值;若不存在,请说明理由.

分析 (1)设出圆心坐标,利用圆与直线4x+3y-29=0相切,圆心的横坐标是整数,即可求得圆C的方程;
(2)利用圆心到直线的距离小于半径,可求实数k的取值范围;
(3)假设存在,则PC⊥AB,由此可得结论.

解答 解:(1)设圆心为M(m,0)(m∈Z).
由于圆与直线4x+3y-29=0相切,且半径为5,
所以,$\frac{{|{4m-29}|}}{5}=5$,即|4m-29|=25.…(2分)
因为m为整数,故m=1.
故所求的圆的方程是(x-1)2+y2=25.…(4分)
(2)直线kx-y+5=0即y=kx+5.代入圆的方程,消去y整理,得:(k2+1)x2+2(5k-1)x+1=0.…(6分)
由于直线kx-y+5=0交圆于A,B两点,故△=4(5k-1)2-4(k2+1)>0,…(7分)
即12k2-5k>0,解得 k<0,或$k>\frac{5}{12}$.
所以实数k的取值范围是$(-∞,0)∪(\frac{5}{12},+∞)$.…(8分)
(3)设符合条件的实数k存在,由(2)得k≠0,则直线l的斜率为$-\frac{1}{k}$,
l的方程为$y=-\frac{1}{k}(x-2)-4$,即x+ky-2+4k=0.…(9分)
由于l垂直平分弦AB,故圆心M(1,0)必在l上.
所以1+0-2+4k=0,解得$k=\frac{1}{4}$.…(11分)
由于$\frac{1}{4}∉(-∞,0)∪(\frac{5}{12},+∞)$,
故不存在实数k,使得过点P(2,-4)的直线l垂直平分弦AB.…(12分)

点评 本题考查圆的方程,考查直线与圆的位置关系,考查点到直线距离公式的运用,属于中档题.

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