Question

7．如图，在△ABC中，D是BC上的点，AC=3，CD=2，AD=$\sqrt{7}$，sinB=$\frac{\sqrt{7}}{7}$．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）求边AB的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由余弦定理可求cosC=$\frac{1}{2}$，结合C的范围，利用特殊角的三角函数值即可得解．
（Ⅱ）由已知利用正弦定理即可得解AB的值．

解答 （本小题共13分）
解：（Ⅰ）在△ADC中，由余弦定理，得$cosC=\frac{{A{C^2}+C{D^2}-A{D^2}}}{2AC•CD}$…．（2分）
$\begin{array}{l}=\frac{{{3^2}+{2^2}-7}}{2×3×2}\\=\frac{1}{2}\end{array}$
因为0＜C＜π，
所以$C=\frac{π}{3}$．…．（6分）
（Ⅱ）因为$C=\frac{π}{3}$，
所以$sinC=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．…．（8分）
在△ABC中，由正弦定理，得 $\frac{AC}{sinB}=\frac{AB}{sinC}$，…．（10分）
即$AB=\frac{{3\sqrt{21}}}{2}$，
所以边AB的长为$\frac{{3\sqrt{21}}}{2}$．…．（13分）

点评 本题主要考查了余弦定理，特殊角的三角函数值，正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．