Question

14．设n∈N^*，圆C_n：（x-$\frac{1}{n}$）²+（y-1）²=$\frac{{4}^{n+1}-1}{{4}^{n+1}+2}$的面积为S_n，则$\underset{lim}{n→∞}$S_n=π．

Answer 1

分析 根据圆的方程可得出圆的半径，从而可以求出圆的面积${S}_{n}=\frac{π（{4}^{n+1}-1）}{{4}^{n+1}+2}$，在求极限时，分子分母同除以4ⁿ⁺¹，然后求数列极限即可．

解答 解：根据圆的标准方程得圆的面积${S}_{n}=\frac{π（{4}^{n+1}-1）}{{4}^{n+1}+2}$；
∴$\underset{lim}{n→∞}{S}_{n}=\underset{lim}{n→∞}\frac{π（{4}^{n+1}-1）}{{4}^{n+1}+2}$=$\underset{lim}{n→∞}\frac{π（1-\frac{1}{{4}^{n+1}}）}{1+\frac{2}{{4}^{n+1}}}$=$\frac{π（1-0）}{1+0}=π$．
故答案为：π．

点评 考查圆的标准方程，圆的面积公式，以及数列极限的概念及求法．