(本小题14分) 已知函数f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)是定义在R上的奇函数,且x=-1时,函数取极值1。
(1)求a,b,c的值;
(2)若x1,x2∈[-1,1],求证:|f(x1)-f(x2)|≤2;
(3)求证:曲线y=f(x)上不存在两个不同的点A,B,使过A, B两点的切线都垂直于直线AB。
(1),b=0
(2)因为,那么可以运用函数单调性放缩来得到
解决问题。
(3)对于探索性试题的分析,假设存在,然后根据过A,B两点的切线平行,得到斜率相等,同时根据过A,B两点的切线都垂直于直线AB
,则斜率之积为-1,得到方程,通过方程无解说明假设不成立,进而得到证明。
解析试题分析:(1)函数是定义在R上的奇函数,
∴即
对于
恒成立,
∴b=0
∴
∵x=-1时,函数取极值1,∴3a+c=0,-a-c=1
解得:
(2)<0,∴
(3)设
∵过A,B两点的切线平行,
∴可得
∵,∴
,则
由于过A点的切线垂直于直线AB,
∴
∴∵△=-12<0
∴关于x1的方程无解。
∴曲线上不存在两个不同的点A,B,过A,B两点的切线都垂直于直线AB
考点:本试题考查了导数的运用。
点评:运用导数研究函数的问题主要涉及到了函数的单调性和函数的极值以及最值问题,那么同时要熟练的掌握导数的几何意义表示切线方程。而对于不等式的恒成立问题,一般将其转换为分离参数的思想来求解不等式的成立,主要是通过最值来完成证明,属于中档题。
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
本小题满分12分)设M是由满足下列条件的函数f (x)构成的集合:①方程f (x)一x=0有实根;②函数的导数满足0<
<1.
(1)若函数f(x)为集合M中的任意一个元素,证明:方程f(x)一x=0只有一个实根;
(2)判断函数是否是集合M中的元素,并说明理由;
(3)设函数f(x)为集合M中的任意一个元素,对于定义域中任意,
证明:
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本小题共14分)已知函数其中常数
.
(1)当时,求函数
的单调递增区间;
(2)当时,若函数
有三个不同的零点,求m的取值范围;
(3)设定义在D上的函数在点
处的切线方程为
当
时,若
在D内恒成立,则称P为函数
的“类对称点”,请你探究当
时,函数
是否存在“类对称点”,若存在,请最少求出一个“类对称点”的横坐标;若不存在,说明理由.
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