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在直角坐标平面内,已知点是平面内一动点,直线斜率之积为.

(Ⅰ)求动点的轨迹的方程;

(Ⅱ)过点作直线与轨迹交于两点,线段的中点为,求直线的斜率的取值范围.

(1)(2)


解析:

(Ⅰ)设点的坐标为,依题意,有

 .                ………………… 3分

化简并整理,得

.

∴动点的轨迹的方程是.           ………………… 5分

 (Ⅱ)解法一:依题意,直线过点且斜率不为零,故可设其方程为, ………6分

由方程组

   消去,并整理得

       

,,则

   ,……………………………………………………… 8分

,

,           …………………………………………… 10分

(1)当时,;           …………………………………………… 11分

(2)当时,

.

.

 .                ………………………………………… 13分

综合(1)、(2)可知直线的斜率的取值范围是:.……………… 14分

解法二:依题意,直线过点且斜率不为零.

当直线轴垂直时,点的坐标为,此时,;   …………6分

当直线的斜率存在且不为零时,设直线方程为,   …………7分

由方程组

   消去,并整理得

       

,,则

   ,……………………………………………………… 8分

,

,              ………………… 10分

.

.

 .                ………………………………………… 13分

综合(1)、(2)可知直线的斜率的取值范围是:.……………… 14分

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