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【题目】已知函数.

(1)当时,求的值域;

(2)当时,函数的图象关于对称,求函数的对称轴.

(3)若图象上有一个最低点,如果图象上每点纵坐标不变,横坐标缩短到原来的倍,然后向左平移1个单位可得的图象,又知的所有正根从小到大依次为,且,求的解析式.

【答案】(1);(2);(3).

【解析】

分析:(1)值域为时,利用三角函数的有界性可得结果;(2)时,函数的图象关于对称利用辅助角公式可得关于的方程从而可求出的值,进而确定函数的解析式,由两角和的正弦公式将其化为一个角的三角函数,利用正弦函数的对称性求解即可;(3)根据图象上有一个最低点结合辅助角公式可求得从而得分类讨论排除不合题意的从而可得结果.

详解(1)当b=0时,函数g(x)=asinx+c.

当a=0时,值域为:{c}.

当a0时,值域为:[c﹣|a|,c+|a|].(

(2)当a=1,c=0时,

∵g(x)=sinx+bcosx 且图象关于x=对称,

∴||=,∴b=﹣

函数 y=bsinx+acosx 即:y=﹣sinx+cosx= cos(x+).

由 x+=kπ,k∈z,可得函数的对称轴为:x=kπ﹣,k∈z.

(3)由g(x)=asinx+bcosx+c= sin(x+)+c,其中,sin=,cos=

由g(x)图象上有一个最低点 (,1),所以

∴g(x)=(c﹣1)sin(x﹣)+c.

又图象上每点纵坐标不变,横坐标缩短到原来的倍,然后向左平移1个单位可得y=f(x)的图象,则f(x)=(c﹣1)sinx+c.

f(x)=3的所有正根从小到大依次为 x1、x2、x3…xn、…,且 xn﹣xn1=3 (n≥2 ),

所以y=f(x)与直线y=3的相邻交点间的距离相等,根据三角函数的图象与性质,直线y=3要么过f(x)的最高点或最低点,要么是y=

即:2c﹣1=3或 1﹣c+c=3(矛盾)或 =3,解得c=2 或 c=3.

当c=2时,函数的 f(x)=sin+2,T=6.

直线 y=3和 f(x)=sin+2相交,且 xn﹣xn1=3 (n≥2 ),周期为3(矛盾).

当c=3时,函数 f(x)=2sin+3,T=6.

直线直线 y=3和 f(x)=2sin+3相交,且 xn﹣xn1=3 (n≥2 ),周期为6(满足条件).

综上:f(x)=2sin+2.

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