设函数,.
(1)讨论函数的单调性;
(2)若存在,使得成立,求满足上述条件的最大整数;
(3)如果对任意的,都有成立,求实数的取值范围.
(1)当时,函数在上单调递增,当时,函数的单调递增区间为,函数的单调递减区间为;(2);(3).
【解析】
试题分析:本题综合考查函数与导数及运用导数求单调区间、最值等数学知识和方法,突出考查综合运用数学知识和方法,考查分析问题解决问题的能力,考查分类讨论思想和转化思想.第一问,先写出解析式,求,讨论参数的正负,解不等式,单调递增,单调递减;第二问,先将已知条件进行转换,等价于,所以本问考查函数的最值,对求导,令得出根,将所给定义域断开列表,判断单调性,求出最值;第三问,将问题转化为,利用第一问的结论,所以,即恒成立,即恒成立,所以本问的关键是求的最大值.
试题解析:(1), ,
①当时,∵,,函数在上单调递增,
②当时,由得,函数的单调递增区间为
得,函数的单调递减区间为 5分
(2)存在,使得成立
等价于:, 7分
考察, ,
0 |
|
||||
递减 |
极(最)小值 |
递增 |
|
由上表可知:,
, 9分
所以满足条件的最大整数; 10分
(3)当时,因为,对任意的,都有成立,
,即恒成立,
等价于恒成立,
记,,所以,
,∵,时,时,,
在区间上递增,在上递减.
所以 12分
考点:1.利用导数求函数的单调区间;2.利用导数求函数的最值.
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