Question

已知函数f（x）对一切x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0．
（1）判断f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）证明f（x）在R上是减函数；
（3）若关于t的方程f（t²-3t）+f（t²-k=0）在[0，2]上有解，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）令x=y=0，得f（0）=0，再令y=-x，即可判断该函数的奇偶性；
（2）令-1＜x₁＜x₂＜1，作差f（x₂）-f（x₁）后判断符号即可判断该函数的单调性；
（3）分离参数，转化为即关于t的方程k=2t²-3t在[0，2]上有解，求出函数的最值即可

解答： 解：（1）令x=y=0，得f（0）=0；
再令y=-x，
则f（x）+f（-x）=f（x-x）=f（0）=0，
∴f（-x）=-f（x），又y=f（x）的定义域为（-1，1），
∴函数y=f（x）为奇函数；
（2）令-1＜x₁＜x₂＜1，
则x₂-x₁＞0，
∵x＞0时，f（x）＜0；
∴f（x₂-x₁）＜0
又y=f（x）为奇函数，
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）＜0，
∴f（x₂）＜f（x₁），
∴函数在（-1，1）上单调递减；
（3）关于t的方程f（t²-3t）+f（t²-k）=0在[0，2]上有解，
即f（t²-3t+t²-k）=0在[0，2]上有解，又f（x）是R上的减函数，
所以关于t的方程t²-3t+t²-k=0在[0，2]上有解，
即关于t的方程k=2t²-3t在[0，2]上有解，
设g（t）=2t²-3t=2（t-

3

4

）²-

9

8

，t∈[0，2]
所以g（t）_max=g（2）=2，g（t）_min=g（

3

4

）=-

9

8

，
所以实数k的取值范围是[-

9

8

，2]．

点评：本题考查抽象函数及其应用，着重考查函数奇偶性与单调性的应用，考查参数的取值范围，属于中档题．