Question

袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是

1

2

．
（I）求n的值；
（II）从袋子中不放回地随机抽取两个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b．
①记事件A表示“a+b=2”，求事件A的概率；
②在区间[0，2]内任取两个实数x，y，求事件“x²+y²＞（a-b）²恒成立”的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是

1

2

，确定n的值．
（Ⅱ）①从袋子中不放回地随机抽取2个球，共有基本事件12个，其中“a+b=2”为事件A的基本事件有4个，故可求概率．②记“x²+y²＞（a-b）²恒成立”为事件B，则事件B等价于“x²+y²＞4恒成立，（x，y）可以看成平面中的点，确定全部结果所构成的区域，事件B构成的区域，利用几何概型可求得结论．

解答：解：（Ⅰ）根据从袋子随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是

1

2

可得

n

1+1+n

=

1

2

，
解得n=2．
（Ⅱ）①从袋子中不放回地随机抽取2个球，共有基本事件12个，其中“a+b=2”为事件A的基本事件有4个，则P（A）=

4

12

=

1

3

．
②记“x²+y²＞（a-b）²恒成立”为事件B，则事件B等价于“x²+y²＞4恒成立，（x，y）可以看成平面中的点，则全部结果所构成的区域为Ω={（x，y）|0≤x≤2，0≤y≤2，x，y∈R}，
而事件B构成的区域B={（x，y）|x²+y²＞4，（x，y）∈Ω}，
所以P（B）=1-

π

4

．

点评：本题考查等可能事件的概率，考查几何概型，解题的关键是确定其测度．