Question

如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD为梯形,AB∥DC,∠ABC=∠CAD=90°,且PA=AB=BC,点E是棱PB上的动点.

(1)若PD∥平面EAC,试确定点E在棱PB上的位置.
(2)在(1)的条件下,求二面角A-CE-P的余弦值.

Answer 1

(1) PE=PB   (2)

(1)在梯形ABCD中,由题知AB⊥BC,AB=BC,∴AC=AB,∠BAC=,
∴∠DCA=∠BAC=.
又∠CAD=90°,
∴△DAC为等腰直角三角形.
∴DC=AC=(AB)=2AB.
连接BD,交AC于点M,连接ME,

∵AB∥DC,∴==2.
∵PD∥平面EAC,
又平面EAC∩平面PDB=ME,
∴PD∥EM.
在△BPD中,==2,∴PE=2EB,
∴当PE=PB时,PD∥平面EAC.
(2)由题意知△PAB为等腰直角三角形,取PB中点N,连接AN,则AN⊥PB.
∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BC.
∵∠ABC=90°,即AB⊥BC,
又PA∩AB=A,∴BC⊥平面PAB.
∵BC?平面PCB,∴平面PAB⊥平面PCB,
又平面PAB∩平面PCB=PB,∴AN⊥平面PBC.
∵CE?平面PBC,∴AN⊥CE.
在平面PBC内,过点N作NH垂直直线CE于点H,连接AH.
∵AN⊥CE,NH⊥CE,AN∩NH=N,
∴CE⊥平面ANH,
∴AH⊥CE.∴∠AHN是二面角A-CE-P的平面角.
设PA=AB=BC=a,
则PB==a,BE=PB=a,
NE=PB-BE=PB-PB=PB=a,
CE==a.
∵NH⊥CE,EB⊥CB,∠NEH=∠CEB,
∴△NEH∽△CEB,∴=,
∴NH==a.
∵AN⊥平面PBC,NH?平面PBC,
∴AN⊥NH,则△AHN为直角三角形.
在Rt△AHN中,AN=AB=a,
∴tan∠AHN==,
∴cos∠AHN===.
∴二面角A-CE-P的余弦值为.