Question

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=120°，AC=CB=A₁A=1，D₁是A₁B₁上一动点（可以与A₁或B₁重合），过D₁和C₁C的平面与AB交于D．
（Ⅰ）证明BC∥平面AB₁C₁；
（Ⅱ）若D₁为A₁B₁的中点，求三棱锥B₁-C₁AD₁的体积VB1-C1AD1．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，由∠ACB=120°，AC=CB=A₁A=1，知CB∥C₁B₁，由此能够证明CB∥平面A B₁C₁．
（Ⅱ）直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，由D₁为A₁B₁的中点，AC=CB=A₁A=1，C₁D₁⊥A₁B₁，CC₁⊥A₁B₁，故A₁B₁⊥平面CDD₁C₁，所以C₁D⊥A₁B₁．故VE1-C1AD1=VC1-D1AB1，由此能求出三棱锥B₁-C₁AD₁的体积VB1-C1AD1．

解答：（Ⅰ）证明：∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=120°，
AC=CB=A₁A=1，
∴CB∥C₁B₁，
又C₁B₁?平面A B₁C₁，
CB?平面A B₁C₁，
所以CB∥平面A B₁C₁．
（Ⅱ）解：直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
∵D₁为A₁B₁的中点，AC=CB=A₁A=1，
∴C₁D₁⊥A₁B₁，CC₁⊥A₁B₁，
∴A₁B₁⊥平面CDD₁C₁，
∵C₁D?平面CDD₁C₁，∴C₁D⊥A₁B₁．
∵∠ACB=120°，AC=CB=A₁A=1，
∴D₁B₁=

1

2

A₁B₁=

1

2

1+1-2×1×1×cos120°

=

3

2

，
C₁D₁=

1

2

C₁B₁=

1

2

，
∴VE1-C1AD1=VC1-D1AB1
=

1

3

×C₁D₁×（

1

2

×A₁A×D₁B₁）
=

1

3

×

1

2

×（

1

2

×1×

3

2

）=

3

24

．
故三棱锥B₁-C₁AD₁的体积为

3

24

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地化空间问题为平面问题．