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直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=120°,AC=CB=A1A=1,D1是A1B1上一动点(可以与A1或B1重合),过D1和C1C的平面与AB交于D.
(Ⅰ)证明BC∥平面AB1C1
(Ⅱ)若D1为A1B1的中点,求三棱锥B1-C1AD1的体积VB1-C1AD1
分析:(Ⅰ)直三棱柱ABC-A1B1C1中,由∠ACB=120°,AC=CB=A1A=1,知CB∥C1B1,由此能够证明CB∥平面A B1C1
(Ⅱ)直三棱柱ABC-A1B1C1中,由D1为A1B1的中点,AC=CB=A1A=1,C1D1⊥A1B1,CC1⊥A1B1,故A1B1⊥平面CDD1C1,所以C1D⊥A1B1.故VE1-C1AD1=VC1-D1AB1,由此能求出三棱锥B1-C1AD1的体积VB1-C1AD1
解答:(Ⅰ)证明:∵直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=120°,
AC=CB=A1A=1,
∴CB∥C1B1
又C1B1?平面A B1C1
CB?平面A B1C1
所以CB∥平面A B1C1
(Ⅱ)解:直三棱柱ABC-A1B1C1中,
∵D1为A1B1的中点,AC=CB=A1A=1,
∴C1D1⊥A1B1,CC1⊥A1B1
∴A1B1⊥平面CDD1C1
∵C1D?平面CDD1C1,∴C1D⊥A1B1
∵∠ACB=120°,AC=CB=A1A=1,
∴D1B1=
1
2
A1B1=
1
2
1+1-2×1×1×cos120°
=
3
2

C1D1=
1
2
C1B1=
1
2

VE1-C1AD1=VC1-D1AB1
=
1
3
×C1D1×(
1
2
×A1A×D1B1
=
1
3
×
1
2
×(
1
2
×1×
3
2
)=
3
24

故三棱锥B1-C1AD1的体积为
3
24
点评:本题考查直线与平面平行的证明,考查三棱锥的体积的求法.解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地化空间问题为平面问题.
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3

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  1. A.
    数学公式
  2. B.
    数学公式
  3. C.
    数学公式
  4. D.
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A.
B.
C.
D.

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