Question

已知⊙C：（x-2）²+（y-2）²=2．
（1）求过点A（2-，0）的⊙C的切线方程；
（2）从点B（-3，3）发出的光线l经x轴反射，其反射光线被⊙C所截得的弦长为2，求入射光线l所在的直线方程．

Answer 1

解：（1）当斜率不存在时，有，圆心到直线的距离为，符合题意；-----------（2分）
当斜率存在时，设切线方程为，
即，
由圆心到切线的距离等于半径得：，，---------------（4分）
得，所以，
综上：所求切线方程为或．-----（7分）
（2）由题意，⊙C关于x轴对称的圆C₁方程为（x-2）²+（y+2）²=2，----------（9分）
设过B与圆C₁相交且截得的弦长为2的直线l方程为y-3=k（x+3），
即kx-y+3+3k=0
由垂径定理得：，----------（11分）
即
解得：或，---------（13分）
所以l方程为或
所以所求直线方程为3x+4y-3=0或4x+3y+3=0．---------（14分）
分析：（1）首先点A在圆外，故引⊙C的切线共有两条．斜率不存在时，符合题意；斜率存在时，利用圆心到直线的距离等于半径，可求切线方程；
（2）根据对称性，将反射光线被⊙C所截得的弦长为2等价转化为入射光线被⊙C关于x轴对称圆所截得的弦长为2，从而可求入射光线l所在的直线方程．
点评：本题的考点是直线和圆的方程的应用，主要考查圆的切线方程，圆的对称性，关键是利用圆的特殊性，利用圆心到直线的距离解决直线和圆的位置关系问题．