Question

2．已知$\vec a=（3，4）$，$\vec b=（9，x）$，$\vec c=（4，y）$且$\vec a∥\vec b$，$\vec a⊥\vec c$．
（1）求$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{c}$；
（2）若$\vec m=2\vec a-\vec b$，$\vec n=\vec a+\vec c$，求向量$\overrightarrow{m}$与$\overrightarrow{n}$的夹角的大小．

Answer 1

分析 （1）由$\vec a∥\vec b$，$\vec a⊥\vec c$．可得36-3x=0，36+xy=0，解出即可得出．
（2）$\overrightarrow{m}$=（-3，-4），$\overrightarrow{n}$=（7，1），利用$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$即可得出．

解答 解：（1）∵$\vec a∥\vec b$，$\vec a⊥\vec c$．
∴36-3x=0，12+4y=0，
解得x=12，y=-3，
∴$\overrightarrow{b}$=（9，12），$\overrightarrow{c}$=（4，-3）．
（2）$\overrightarrow{m}$=（-3，-4），$\overrightarrow{n}$=（7，1），
∴$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-25}{5×\sqrt{50}}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴向量$\overrightarrow{m}$与$\overrightarrow{n}$的夹角为$\frac{3π}{4}$．

点评 本题考查了向量数量积运算性质、向量夹角公式、向量共线定理、，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．