Question

20．若函数$f（x）={x^{-\frac{1}{2}}}-{x^{\frac{2}{3}}}（x＞0）$，则满足f（x）＜0的x的取值范围是（1，+∞）．

Answer 1

分析 由已知科$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{\frac{1}{\sqrt{x}}＜\root{3}{{x}^{2}}}\end{array}\right.$，由此能求出f（x）＜0的x的取值范围．

解答 解：$f（x）={x^{-\frac{1}{2}}}-{x^{\frac{2}{3}}}（x＞0）$满足f（x）＜0，
∴${x}^{-\frac{1}{2}}-{x}^{\frac{2}{3}}＜0$，且x＞0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{\frac{1}{\sqrt{x}}＜\root{3}{{x}^{2}}}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{\frac{1}{{x}^{3}}＜{x}^{4}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{{x}^{7}＞1}\end{array}\right.$，解得x＞1．
∴f（x）＜0的x的取值范围是（1，+∞）．
故答案为：（1，+∞）．

点评 本题考查不等式的解法，是基础题，解题时要认真审题，注意根式、分类指数幂的互化及有理数指数幂的性质、运算法则的合理运用．