Question

【题目】已知函数f（x）=log4（4x+1）+kx，（k∈R）为偶函数．
（1）求k的值；
（2）若方程f（x）=log4（a2x﹣a）有且只有一个根，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（I） 由题意得f（﹣x）=f（x），
即，
化简得=2kx，
从而4（2k+1）x=1，此式在x∈R上恒成立，
∴k=-
（II）由题意，原方程化为且a2x﹣a＞0
即：令2x=t＞0
函数y=（1﹣a）t2+at+1的图象过定点（0，1），（1，2）如图所示：
若方程（1）仅有一正根，只有如图的三种情况，
可见：a＞1，即二次函数y=（1﹣a）t2+at+1的
开口向下都可，且该正根都大于1，满足不等式（2），
当二次函数y=（1﹣a）t2+at+1的开口向上，
只能是与x轴相切的时候，
此时a＜1且△=0，即a=-2-2也满足不等式（2）
综上：a＞1或a=-2-2

【解析】（Ⅰ）根据偶函数可知f（x）=f（﹣x），取x=﹣1代入即可求出k的值；
（Ⅱ）根据方程有且只有一个实根，化简可得有且只有一个实根，令t=2x＞0，则转化成新方程有且只有一个正根，结合函数的图象讨论a的取值，即可求出实数a的取值范围．
【考点精析】本题主要考查了函数奇偶性的性质的相关知识点，需要掌握在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇才能正确解答此题．