Question

函数f（x）对任意x，y∈（0，+∞）满足f（xy）=f（x）+f（y）且当x＞1时，f（x）＞0．
（1）判断函数f（x）的单调性并证明相关结论；
（2）若f（2）=1，试求解关于x的不等式f（x）+f（x-3）≥2．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，根据f（xy）=f（x）+f（y），可得，结合当x＞1时，f（x）＞0，易得f（x₂）＞f（x₁），由函数单调性的定义，易得函数f（x）是定义在（0，+∞）上为增函数
（2）先求出f（4）=2，再根据函数的单调性构造不等式组，解得即可．

解答： 解：（1）函数f（x）是定义在（0，+∞）上为增函数，
理由如下，任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
∴

x2

x1

＞1，
∵当x＞1时，f（x）＞0．
∴f（

x2

x1

）＞0，
∴f（x₂）=f（

x2

x1

•x₁）=f（

x2

x1

）+f（x₁）＞f（x₁），
即f（x₂）＞f（x₁）
∴函数f（x）是定义在（0，+∞）上为增函数，
（2）令x=y=2，
则f（4）=2f（2）=2，
∵f（x）+f（x-3）≥2，
∴f（x（x-3））≥f（4），
∵f（x）是定义在（0，+∞）上为增函数，
∴

x＞0 x-3＞0 x(x-3)≥4

，
解得x≥4，
故不等式f（x）+f（x-3）≥2的解集为[4，+∞）

点评：本题考查的知识点是抽象及其应用，函数的单调性的判断与证明，函数的值，其中抽象函数中“凑”的思想是解答此类问题的关