Question

3．设函数f（x）=x²-2x-|x-1-a|-|x-2|+4．
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的最小值
（Ⅱ）对?x∈R，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）代入a值f（x）=x²-2x-2|x-2|+4，分类讨论即可；
（2）利用特殊值先确定一个范围：由f（0）≥0，f（1）≥0，得-2≤a≤1；在对x进行分类讨论．

解答 解（Ⅰ）当a=1时，
f（x）=x²-2x-2|x-2|+4，
当x≥2时，f（x）=（x-2）²+4≥4，
当x＜2时，f（x）=x²≥0，
∴f（x）的最小值为0；
（II）由f（0）≥0，f（1）≥0，…（9分）
即|1+a|≤2，|a|≤2，得-2≤a≤1．…（11分）
又当-2≤a≤1时，
ⅰ）若x≥2，f（x）=（x-2）²+3+a≥0，
ⅱ）若1+a≤x＜2，f（x）=（x-1）²+2+a≥0，
ⅲ）若x＜1+a，f（x）=x²-a+1≥0，
综上可知-2≤a≤1时，对?x∈R，f（x）≥0恒成立，
故a∈[-2，1]．（15分）

点评 考查了绝对值函数和利用特殊值的思想解决恒成立问题，思路不太好想，难点较大．