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【题目】已知数列{an}满足a1=81,an= (k∈N*),则数列{an}的前n项和Sn的最大值为

【答案】127
【解析】解:∵数列{an}满足a1=81,an= (k∈N*),∴n=2k(k∈N*)时,a2k=﹣1+log3a2k1 , a2=3;n=2k+1时a2k+1=
∴a2k+1= = ,a2k=﹣1+a2k2
∴数列{an}的奇数项成等比数列,公比为 ;偶数项成等差数列,公差为﹣1.
∴Sn=S2k=(a1+a3+…+a2k1)+(a2+a4+…+a2k
= +3k+
= + ≤127.(k=5时取等号).
Sn=S2k1=S2k2+a2k1= + + ≤111,k=5时取等号.
综上可得:数列{an}的前n项和Sn的最大值为127.
所以答案是:127.

练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

【题目】设函数f(x)=aexlnx+ ,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处得切线方程为y=e(x﹣1)+2.
(Ⅰ)求a、b;
(Ⅱ)证明:f(x)>1.

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科目:高中数学 来源: 题型:

【题目】已知集合M={x|9x﹣43x+1+27=0},N={x|log2(x+1)+log2x=log26},则M、N的关系是(
A.MN
B.NM
C.M=N
D.不确定

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【题目】下列说法正确的是( ).

A. ,“”是“”的必要不充分条件

B. 为真命题”是“为真命题” 的必要不充分条件

C. 命题“,使得”的否定是:“

D. 命题:“”,则是真命题

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科目:高中数学 来源: 题型:

【题目】某校100名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间如下:

组号

第一组

第二组

第三组

第四组

第五组

分组

[50,60)

[60,70)

[70,80)

[80,90)

[90,100]

(1)求图中a的值;

(2)根据频率分布直方图,估计这100名学生期中考试数学成绩的平均分;

(3)现用分层抽样的方法从第3、4、5组中随机抽取6名学生,将该样本看成一个总体,从中随机抽取2,求其中恰有1人的分数不低于90分的概率.

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科目:高中数学 来源: 题型:

【题目】在数列{ }中,已知,则等于(  )

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

将数列的等式关系两边取倒数是公差为的等差数列,再根据等差数列求和公式得到数列通项,再取倒数即可得到数列{}的通项.

将等式两边取倒数得到是公差为的等差数列,=,根据等差数列的通项公式的求法得到=.

故答案为:B.

【点睛】

这个题目考查的是数列通项公式的求法数列通项的求法中有常见的已知的关系,求表达式,一般是写出做差得通项,但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用;还有构造新数列的方法,取倒数,取对数的方法等等.

型】单选题
束】
9

【题目】在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x(单位m)的取值范围是 ( )

(A) [15,20](B) [12,25] (C) [10,30](D) [20,30]

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【题目】已知数列是递增数列,且对,都有,则实数的取值范围是

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

{an}是递增数列,得到an+1>an,再由“an=n2+λn恒成立转化为“λ>﹣2n﹣1对于nN*恒成立求解.

∵{an}是递增数列,

∴an+1>an

∵an=n2+λn恒成立

即(n+1)2+λ(n+1)>n2+λn,

∴λ>﹣2n﹣1对于nN*恒成立.

而﹣2n﹣1n=1时取得最大值﹣3,

∴λ>﹣3,

故选:D.

【点睛】

本题主要考查由数列的单调性来构造不等式,解决恒成立问题.研究数列单调性的方法有:比较相邻两项间的关系,将an+1an做差与0比较,即可得到数列的单调性;研究数列通项即数列表达式的单调性.

型】单选题
束】
13

【题目】已知数列{an}满足a1=1,且anan1+2n1 (n≥2 ),则a20________

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【题目】等差数列{an}的各项均为正数,a1=3,前n项和为Sn,{bn}为等比数列,b1=1,且b2S2=64,b3S3=960.

(1)anbn

(2)

【答案】(1)an=2n+1,bn=8n1.(2)

【解析】

(1)设{an}的公差为d,{bn}的公比为q,由题设条件建立方程组解方程组得到dq的值,从而求出anbn;(2)由Sn=n(n+2),知,由此可求出的值.

(1){an}的公差为d,{bn}的公比为q,则d为正数,

an=3+(n-1)dbnqn1

依题意有

解得 (舍去).

an=3+2(n-1)=2n+1,bn=8n1.

(2)Sn=3+5+…+(2n+1)=n(n+2).

所以+…++…+

(1-+…+)

(1+)

.

【点睛】

这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法;数列通项的求法中有常见的已知的关系,求表达式,一般是写出做差得通项,但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用;数列求和常用法有:错位相减,裂项求和,分组求和等。

型】解答
束】
21

【题目】已知函数f(x)满足f(xy)=f(xf(y),且f(1)=.

(1)nN,求f(n)的表达式;

(2)annf(n),nN,求证:a1a2+…+an<2.

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【题目】我国是世界上严重缺水的国家,某市政府为了鼓励居民节约用水,计划调整居民生活用水收费方案,拟确定一个合理的月用水量标准(吨)、一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费,超出的部分按议价收费.为了了解居民用水情况,通过抽样,获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位:吨),将数据按照[0,0.5)[0.5,1)[4,4.5]分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.

)求直方图中a的值;

)设该市有30万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数,并说明理由;

)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准(吨),估计的值,并说明理由.

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