【题目】已知数列{an}满足a1=81,an= (k∈N*),则数列{an}的前n项和Sn的最大值为
【答案】127
【解析】解:∵数列{an}满足a1=81,an= (k∈N*),∴n=2k(k∈N*)时,a2k=﹣1+log3a2k﹣1 , a2=3;n=2k+1时a2k+1= .
∴a2k+1= = ,a2k=﹣1+a2k﹣2 .
∴数列{an}的奇数项成等比数列,公比为 ;偶数项成等差数列,公差为﹣1.
∴Sn=S2k=(a1+a3+…+a2k﹣1)+(a2+a4+…+a2k)
= +3k+
= ﹣ + ≤127.(k=5时取等号).
Sn=S2k﹣1=S2k﹣2+a2k﹣1= ﹣ + + ≤111,k=5时取等号.
综上可得:数列{an}的前n项和Sn的最大值为127.
所以答案是:127.
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【题目】设函数f(x)=aexlnx+ ,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处得切线方程为y=e(x﹣1)+2.
(Ⅰ)求a、b;
(Ⅱ)证明:f(x)>1.
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【题目】已知集合M={x|9x﹣43x+1+27=0},N={x|log2(x+1)+log2x=log26},则M、N的关系是( )
A.MN
B.NM
C.M=N
D.不确定
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【题目】下列说法正确的是( ).
A. ,“”是“”的必要不充分条件
B. “且为真命题”是“或为真命题” 的必要不充分条件
C. 命题“,使得”的否定是:“”
D. 命题:“”,则是真命题
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【题目】某校100名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间如下:
组号 | 第一组 | 第二组 | 第三组 | 第四组 | 第五组 |
分组 | [50,60) | [60,70) | [70,80) | [80,90) | [90,100] |
(1)求图中a的值;
(2)根据频率分布直方图,估计这100名学生期中考试数学成绩的平均分;
(3)现用分层抽样的方法从第3、4、5组中随机抽取6名学生,将该样本看成一个总体,从中随机抽取2名,求其中恰有1人的分数不低于90分的概率.
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【题目】在数列{ }中,已知,,,则等于( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
将数列的等式关系两边取倒数是公差为的等差数列,再根据等差数列求和公式得到数列通项,再取倒数即可得到数列{}的通项.
将等式两边取倒数得到,是公差为的等差数列,=,根据等差数列的通项公式的求法得到,故=.
故答案为:B.
【点睛】
这个题目考查的是数列通项公式的求法,数列通项的求法中有常见的已知和的关系,求表达式,一般是写出做差得通项,但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用;还有构造新数列的方法,取倒数,取对数的方法等等.
【题型】单选题
【结束】
9
【题目】在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x(单位m)的取值范围是 ( )
(A) [15,20](B) [12,25] (C) [10,30](D) [20,30]
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【题目】已知数列是递增数列,且对,都有,则实数的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
由{an}是递增数列,得到an+1>an,再由“an=n2+λn恒成立”转化为“λ>﹣2n﹣1对于n∈N*恒成立”求解.
∵{an}是递增数列,
∴an+1>an,
∵an=n2+λn恒成立
即(n+1)2+λ(n+1)>n2+λn,
∴λ>﹣2n﹣1对于n∈N*恒成立.
而﹣2n﹣1在n=1时取得最大值﹣3,
∴λ>﹣3,
故选:D.
【点睛】
本题主要考查由数列的单调性来构造不等式,解决恒成立问题.研究数列单调性的方法有:比较相邻两项间的关系,将an+1和an做差与0比较,即可得到数列的单调性;研究数列通项即数列表达式的单调性.
【题型】单选题
【结束】
13
【题目】已知数列{an}满足a1=1,且an=an-1+2n1 (n≥2 ),则a20=________.
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【题目】等差数列{an}的各项均为正数,a1=3,前n项和为Sn,{bn}为等比数列,b1=1,且b2S2=64,b3S3=960.
(1)求an与bn;
(2)求
【答案】(1)an=2n+1,bn=8n-1.(2)
【解析】
(1)设{an}的公差为d,{bn}的公比为q,由题设条件建立方程组,解方程组得到d和q的值,从而求出an与bn;(2)由Sn=n(n+2),知,由此可求出的值.
(1)设{an}的公差为d,{bn}的公比为q,则d为正数,
an=3+(n-1)d,bn=qn-1,
依题意有,
解得或 (舍去).
故an=3+2(n-1)=2n+1,bn=8n-1.
(2)Sn=3+5+…+(2n+1)=n(n+2).
所以++…+=+++…+
= (1-+-+-+…+-)
= (1+--)
=-.
【点睛】
这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法;数列通项的求法中有常见的已知和的关系,求表达式,一般是写出做差得通项,但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用;数列求和常用法有:错位相减,裂项求和,分组求和等。
【题型】解答题
【结束】
21
【题目】已知函数f(x)满足f(x+y)=f(x)·f(y),且f(1)=.
(1)当n∈N+,求f(n)的表达式;
(2)设an=nf(n),n∈N+,求证:a1+a2+…+an<2.
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【题目】我国是世界上严重缺水的国家,某市政府为了鼓励居民节约用水,计划调整居民生活用水收费方案,拟确定一个合理的月用水量标准(吨)、一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费,超出的部分按议价收费.为了了解居民用水情况,通过抽样,获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位:吨),将数据按照[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5]分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.
(Ⅰ)求直方图中a的值;
(Ⅱ)设该市有30万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数,并说明理由;
(Ⅲ)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准(吨),估计的值,并说明理由.
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