Question

已知椭圆上任意一点到两焦点距离之和为4，直线x+4=0为该椭圆的一条准线．
（I）求椭圆C的方程；
（II）设直线l：y=kx+2与椭圆C交于不同的两点A、B，且（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．

Answer 1

解：（I）设椭圆C的半焦距为c，
由题意得，解得a=2，b=，
∴椭圆C的方程为；
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立，得（4k²+3）x²+16kx+4=0，
∵直线l：y=kx+2与椭圆C交于不同的两点A、B，
∴△=（16k）²-16（4k²+3）＞0，解得，①
且有，，
∴=x₁x₂+y₁y₂
=x₁x₂+（kx₁+2）（kx₂+2）
=（1+k²）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4
=＞0，
解得，②
由①②得，，
解得，或，
∴斜率k的取值范围是．
分析：（I）设椭圆C的半焦距为c，由题意得，由此能够求出椭圆C的方程．
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由，得（4k²+3）x²+16kx+4=0，由直线l：y=kx+2与椭圆C交于不同的两点A、B，解得，且有，，=＞0，解得，由此能够求出斜率k的取值范围．
点评：本题考查椭圆方程的求法，求直线斜率k的取值范围．解题时要认真审题，注意椭圆性质、韦达定理、不等式性质等知识点的灵活运用．