Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，2^n-1a_n=a_n-1（n∈N^*，n≥2）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）此数列从第几项开始，这一项及以后各项均小于

1

1000

？

Answer 1

考点：数列递推式,数列的函数特性

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由数列递推式可得数列{a_n}是以1为首项，以

1

2

为公比的等比数列，代入等比数列的通项公式得答案；
（2）直接由an=

1

2n-1

＜

1

1000

＜

1

29

求得n的取值范围．

解答： 解：（1）由2^n-1a_n=a_n-1，得

an

an-1

=

1

2n-1

(n≥2)，
又a₁=1，∴数列{a_n}是以1为首项，以

1

2

为公比的等比数列，
∴an=

1

2n-1

，
当n=1时上式成立，
∴an=

1

2n-1

；
（2）由an=

1

2n-1

＜

1

1000

＜

1

29

，得n-1＞9，∴n＞10．
∴此数列从第11项开始，这一项及以后各项均小于

1

1000

．

点评：本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，考查了数列的函数特性，是中档题．