Question

15．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sinx，cosx），$\overrightarrow{b}$=（cos（x+$\frac{π}{6}$）+sinx，cosx），函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$．
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若α∈（0，$\frac{π}{2}$）且cos（α+$\frac{π}{12}$）=$\frac{1}{3}$，求f（α）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据平面向量数量积的坐标表示与三角恒等变换，化简f（x），求出它的增区间；
（Ⅱ）利用二倍角公式化简f（α），再根据同角的三角函数关系，即可求出f（α）的值．

解答 解：（Ⅰ）向量$\overrightarrow{a}$=（sinx，cosx），$\overrightarrow{b}$=（cos（x+$\frac{π}{6}$）+sinx，cosx），
∴f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=sinxcos（x+$\frac{π}{6}$）+sin²x+cos²x
=sinxcosxcos$\frac{π}{6}$-sinxsinxsin$\frac{π}{6}$+1
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinxcosx-$\frac{1}{2}$sin²x+1
=$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2x-$\frac{1}{2}$•$\frac{1-cos2x}{2}$+1
=$\frac{1}{2}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x）+$\frac{3}{4}$
=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{3}{4}$，…4分
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
解得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
故f（x）的增区间为[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z；…6分
（Ⅱ）由f（α）=$\frac{1}{2}$sin（2α+$\frac{π}{6}$）+$\frac{3}{4}$=sin（α+$\frac{π}{12}$）cos（α+$\frac{π}{12}$）+$\frac{3}{4}$，…8分
又$cos（α+\frac{π}{12}）=\frac{1}{3}$，且$α∈（0，\frac{π}{2}）$，
∴sin（α+$\frac{π}{12}$）=$\sqrt{1{-（\frac{1}{3}）}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，…10分
∴f（α）=$\frac{1}{3}$×$\frac{2\sqrt{2}}{3}$+$\frac{3}{4}$=$\frac{2\sqrt{2}}{9}$+$\frac{3}{4}$．…12分

点评 本题考查了三角函数的化简与运算问题，也考查了平面向量的数量积运算问题，是综合性题目．