Question

6．定义在（0，+∞）上的函数f（x）对一切x，y＞0满足f（$\frac{x}{y}$）=f（x）-f（y），且当0＜x＜1，f（x）＜0．
（1）求f（1）；
（2）讨论该函数在（0，+∞）上的单调性；
（3）解不等式f（x+1）-f（$\frac{1}{x-1}$）＜0．

Answer 1

分析 （1）利用赋值法进行求f（1）的值；      
（2）根据函数的单调性的定义判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并证明．
（3）根据函数单调性的性质解不等式即可．

解答 解：（1）令x=y=1，则有f（1）=f（1）-f（1）=0；
（2）设x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
0＜$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$＜1，即f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）＜0，
则f（x₁）-f（x₂）=f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
则函数在（0，+∞）上的单调递增．
（3）由f（x+1）-f（$\frac{1}{x-1}$）＜0．得f（x+1）＜f（$\frac{1}{x-1}$），
由（2）得函数在（0，+∞）上的单调递增．
∴$\left\{\begin{array}{l}{x+1＞0}\\{\frac{1}{x-1}＞0}\\{x+1＜\frac{1}{x-1}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x＞-1}\\{x＞1}\\{{x}^{2}-1＜1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x＞-1}\\{x＞1}\\{-\sqrt{2}＜x＜\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
解得1＜x＜$\sqrt{2}$，
即不等式的解集为（1，$\sqrt{2}$）．

点评 本题主要考查抽象函数的应用，根据函数的奇偶性和单调性的定义和性质是解决本题的关键．