Question

如图，已知直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是边长为2、∠ADC=120°的菱形，Q是侧棱DD₁（DD₁＞）延长线上的一点，过点Q、A₁、C₁作菱形截面QA₁PC₁交侧棱BB₁于点P．设截面QA₁PC₁的面积为S₁，四面体B₁-A₁C₁P的三侧面△B₁A₁C₁、△B₁PC₁、△B₁A₁P面积的和为S₂，S=S₁-S₂．
（Ⅰ）证明：AC⊥QP；
（Ⅱ）当S取得最小值时，求cos∠A₁QC₁的值．

Answer 1

解：（Ⅰ）连AC、BD，则AC⊥BD；
∵PB⊥底面ABCD，则AC⊥BP，∴AC⊥平面QPBD．
而QP?平面QPBD，∴AC⊥QP．（4分）

（Ⅱ）设O是A₁C₁与QP的交点，QD₁=x、QO=y，则x²+1=y²，S=S₁-S₂
==．（8分）
∵令，则，
∴当即时，S取得最小值．（11分）
此时，，由余弦定理有cos∠A₁QC₁=．（13分）
分析：（Ⅰ）要证明：AC⊥QP；只要证明AC垂直平面PCDQ即可．也就是证明AC垂直平面内的相交直线即可．
（Ⅱ）设O是A₁C₁与QP的交点，QD₁=x、QO=y，则x²+1=y²，利用S=S₁-S₂．表示出面积S，当S取得最小值时，求出x的值，然后求cos∠A₁QC₁的值．
点评：本题考查棱柱的结构特征，余弦定理，是中档题．