Question

把正方形ABCD沿其对角线AC折成直二面角D-AC-B后，连接BD，得到如图所示的几何体，已知点O、E、F分别为线段AC、AD、BC的中点．
（1）求证：AB∥平面EOF；
（2）求二面角E-OF-B的大小．

Answer 1

分析：（1）由点O、F分别为线段AC、BC的中点．利用三角形的中位线定理，我们可得OF∥AB，再由线面平行的判定定理，可以得到AB∥平面EOF；
（2）以O为坐标原点，OB，OC，OD，分别为x，y，z轴正方向建立空间坐标系，分别求出平面EOF的法向量和平面BOF的法向量，代入向量夹角公式，即可求出二面角E-OF-B的大小．

解答：解：（1）证明：∵点F为线段BC的中点，O为AC的中点，
∴OF∥AB
又∵OF?平面EOF，AB?平面EOF
∴AB∥平面EOF
（2）∵二面角D-AC-B为直二面角，连接OB，OD，
∵AD=DC，
∴OD⊥AC
则OD⊥平面ABC
又∵AB=BC
∴OB⊥OC
以O为坐标原点，OB，OC，OD，分别为x，y，z轴正方向建立空间坐标系，
序曲OA=OB=OC=OD=2a
∵E、F分别为线段AD、BC的中点
∴A（0，-2a，0），B（2a，0，0），C（0，2a，0），D（0，0，2a），E（0，-a，a），F（a，a，0）
∴

OE

=（0，-a，a），

OF

=（a，a，0）
设平面EOF的法向量为

n

=（x，y，z）
则

n • OE =0 n • OF =0

，即

-ay+az=0 ax+ay=0

设x=-1，则

n

=（-1，1，1）
平面OBF的法向量为

m

=（0，0，1）
∵cos＜

n

，

m

＞=

m • n

| m |•| n |

=

3

3

∴二面角E-OF-B的大小为arccos

3

3

点评：本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，直线与平面平行的判定，其中（1）的关键是证得OF∥AB，（2）的关键是求出平面EOF的法向量和平面BOF的法向量．