Question

已知椭圆C的中心为原点O，点F（1，0）是它的一个焦点，直线l过点F与椭圆C交于A，B两点，当直线l垂直于x轴时，

OA

•

OB

=

1

2

（I）求椭圆C的方程；
（II）已知点P为椭圆的上顶点，且存在实数t使

PA

+

PB

=t

PF

成立，求实数t的值和直线l的方程．

Answer 1

分析：（I）设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），则a²-b²=1，当l垂直于x轴时，A，B两点的坐标分别是（1，

b2

a

）和（1，-

b2

a

），由

OA

•

OB

=（1，

b2

a

）•（1，-

b2

a

）=1-

b4

a2

，知a²=2b⁴，由此能求出椭圆C的方程．
（II）当直线斜率不存在时，A（1，

2

2

），B（1，-

2

2

），P（0，1），

PA

=（1，

2

2

-1），

PB

=（1，-

2

2

-1），

PF

=（1，-1），由t使

PA

+

PB

=t

PF

，得直线l的方程为x=1当直线斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x-1），A=（x₁，y₁），B=（x₂，y₂），

PA

=（x₁，y₁-1），

PB

=（x₂，y₂-1），

PF

=（1，-1），由t使

PA

+

PB

=t

PF

，得直线l的方程为y=-x+1．由此能求出结果．

解答：解：（I）设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
则a²-b²=1，①
∵当l垂直于x轴时，A，B两点的坐标分别是（1，

b2

a

）和（1，-

b2

a

），
∴

OA

•

OB

=（1，

b2

a

）•（1，-

b2

a

）=1-

b4

a2

，
则1-

b4

a2

=

1

2

，即a²=2b⁴．②
由①，②消去a，得2b⁴-b²-1=0．∴b²=1或b²=-

1

2

．
当b²=1时，a²=2．因此，椭圆C的方程为

x2

2

+y2=1．
（II）当直线斜率不存在时，A（1，

2

2

），B（1，-

2

2

），P（0，1），
所以

PA

=（1，

2

2

-1），

PB

=（1，-

2

2

-1），

PF

=（1，-1），
由t使

PA

+

PB

=t

PF

，得t=2，直线l的方程为x=1
当直线斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x-1），A=（x₁，y₁），B=（x₂，y₂），
所以，

PA

=（x₁，y₁-1），

PB

=（x₂，y₂-1），

PF

=（1，-1），
由t使

PA

+

PB

=t

PF

，得

x1+x2=t y1-1+y2-1=-t

，即

x1+x2=t y1+y2=2-t

，
因为y₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1），
所以，y₁+y₂=k（x₁+x₂-2），解得：k=-1
此时，直线l的方程为y=-x+1，
联立

x2 2 +y2=1 y=-x+1

，得3x²-4x=0，t=x₁+x₂=

4

3

，
∴当直线斜率存在时，t=

4

3

，直线l的方程为y=-x+1，
综上所述，存在实数t，且t=2时，直线方程x=1，
当t=1时，直线l的方程为y=-x+1．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意分类讨论思想和等价转化思想的合理运用．