Question

某职业联赛的总决赛在甲、乙两队之间角逐，采用七场四胜制，即有一队胜四场，则此队获胜，且比赛结束．在每场比赛中，甲队获胜的概率是

2

3

，乙队获胜的概率是

1

3

，根据以往资料统计，每场比赛组织者可获门票收入为30万元，两队决出胜负后，问：
（Ⅰ）组织者在总决赛中获门票收入为120万元的概率是多少？
（Ⅱ）组织者在总决赛中获门票收入不低于180万元的概率是多少？

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据题意，若门票收入为120万元，则甲或乙队连胜4场，分析可得，甲队连胜4场与乙队连胜4场是互斥事件，由互斥事件的概率，计算可得答案；
（Ⅱ）门票收入不低于180万元即门票收入为180万元或210万元，若门票收入为180万元，则甲、乙队比赛6场，最终甲或乙获胜；进而又分为若甲胜，则前5场中甲恰好胜3场，第6场甲胜，若乙胜，则前5场中乙恰好胜3场，第6场乙胜，由互斥事件的概率，计算可得其概率，同理可得门票收入为210万元的概率，最后结合互斥事件的概率，计算可得答案．

解答：解：（Ⅰ）根据题意，若门票收入为120万元，则甲或乙队连胜4场，
分析可得，甲队连胜4场与乙队连胜4场是互斥事件，
故其概率为：P₁=(

2

3

)4+(

1

3

)4=

17

81

，
（Ⅱ）根据题意，门票收入不低于180万元即门票收入为180万元或210万元，
若门票收入为180万元，则甲、乙队比赛6场，最终甲或乙获胜；
有两种情况，若甲胜，则前5场中甲恰好胜3场，第6场甲胜，
若乙胜，则前5场中乙恰好胜3场，第6场乙胜，
故其概率为：P₂=

C

3 5

(

2

3

)3(

1

3

)2×

2

3

+

C

3 5

(

1

3

)3(

2

3

)2×

1

3

=

200

729

，
同理，门票收入为210万元的概率为：P₃=

C

3 6

(

2

3

)3(

1

3

)3×

2

3

+

C

3 6

(

1

3

)3(

2

3

)3×

1

3

=

160

729

，
由互斥事件的概率，可得门票收入不低于180万元的概率是：P=P2+P3=

40

81

．

点评：本题考查互斥事件、相互独立事件、对立事件的概率，首先分析题意，明确事件之间的相互关系．