Question

（2012•月湖区模拟）已知函数f(x)=

3

sinxcosx-cos2x-

1

2

，x∈R．
（1）求函数f（x）的最大值和最小正周期；
（2）设△ABC的内角A，B，C的对边分别a，b，c，且c=3，f（C）=0，若sin（A+C）=2sinA，求a，b的值．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简三角函数，即可求函数f（x）的最大值和最小正周期；
（2）先求出C，再利用sin（A+C）=2sinA，结合正弦、余弦定理，可求a，b的值．

解答：解：（1）f(x)=

3

2

sin2x-

1+cos2x

2

-

1

2

=sin(2x-

π

6

)-1…．（3分）
∵-1≤sin(2x-

π

6

)≤1，∴-2≤sin(2x-

π

6

)-1≤0，∴f（x）的最大值为0，
最小正周期是T=

2π

2

=π…（6分）
（2）由f(C)=sin(2C-

π

6

)-1=0，可得sin(2C-

π

6

)=1
∵0＜C＜π，∴0＜2C＜2π，∴-

π

6

＜2C-

π

6

＜

11

6

π
∴2C-

π

6

=

π

2

，∴C=

π

3

∵sin（A+C）=2sinA，∴由正弦定理得

a

b

=

1

2

①…（9分）
由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos

π

3

∵c=3
∴9=a²+b²-ab②
由①②解得a=

3

，b=2

3

…（12分）

点评：本题考查三角函数的化简，考查三角函数的性质，考查正弦、余弦定理的运用，属于中档题．