分析 利用辅助角公式化简方程,结合题意和正弦函数的值域列出不等式组,利用分类讨论思想、一元二次不等式的解法,化简后求出不等式组的解集,即可得到k的取值范围.
解答 解:由3cosθ-4ksinθ-2+3k=0得,4ksinθ-3cosθ=3k-2,
则$\sqrt{16{k}^{2}+9}$sin(θ-α)=3k-2,得sin(θ-α)=$\frac{3k-2}{\sqrt{16{k}^{2}+9}}$,
∵方程3cosθ-4ksinθ-2+3k=0有解,∴方程sin(θ-α)=$\frac{3k-2}{\sqrt{16{k}^{2}+9}}$有解,
∴-1≤$\frac{3k-2}{\sqrt{16{k}^{2}+9}}$≤1,即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3k-2}{\sqrt{16{k}^{2}+9}}≤1,①}\\{\frac{3k-2}{\sqrt{16{k}^{2}+9}}≥-1,②}\end{array}\right.$,
对于①,当3k-2≤0,即k≤$\frac{2}{3}$时,恒成立;
当3k-2>0,即k>$\frac{2}{3}$时,①等价于(3k-2)2≤16k2+9,
化简得7k2+12k+5≥0,解得$k≥-\frac{5}{7}或k≤-1$,则k>$\frac{2}{3}$,
所以不等式①的解集是R;
对于②,当3k-2≥0,即k≥$\frac{2}{3}$时,恒成立;
当3k-2<0,即k<$\frac{2}{3}$时,②等价于(2-3k)2≤16k2+9,
化简得7k2+12k+5≥0,解得$k≥-\frac{5}{7}或k≤-1$,
则$-\frac{5}{7}≤k<\frac{2}{3}$或k≤-1,
所以不等式②解集是{k|$k≥-\frac{5}{7}或k≤-1$};
综上可得,不等式组的解集是{k|$k≥-\frac{5}{7}或k≤-1$ },
∴k的取值范围是{k|$k≥-\frac{5}{7}或k≤-1$ }.
点评 本题考查了正弦函数的值域,辅助角公式,一元二次不等式的解法,以及分类讨论思想,考查化简、变形能力,属于中档题.
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A. | x=$\frac{π}{6}$ | B. | x=$\frac{π}{4}$ | C. | x=$\frac{π}{3}$ | D. | x=$\frac{π}{2}$ |
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