Question

已知椭圆的离心率为，，为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，且的周长为。
（Ⅰ）求椭圆的方程
（Ⅱ）设直线与椭圆相交于、两点，若（为坐标原点），求证：直线与圆相切.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.

解析试题分析：（Ⅰ）借助题中的已知条件以及、、三者之间的相互关系确定、、的值，从而确定椭圆的方程；（Ⅱ）对直线的斜率存在与不存在这两种情况进行讨论，即根据这个条件确定直线倾斜角为时，直线的方程，以及根据这个条件在斜率存在时方程中、之间的等量关系，并借助圆心（原点）到直线的距离等于圆的半径确定直线与圆相切.
试题解析：解（Ⅰ）由已知得，且
解得，又
所以椭圆的方程为            4分
（Ⅱ）证明：有题意可知，直线不过坐标原点，设的坐标分别为
（ⅰ）当直线轴时，直线的方程为且
则
     
，解得
故直线的方程为
因此，点到直线的距离为
又圆的圆心为，半径
所以直线与圆相切                     9分
（ⅱ）当直线不垂直于轴时，设直线的方程为
由 得



  
故
即       ①
又圆的圆心为，半径
圆心到直线的距离为
    ②
将①式带入②式得

所以
因此，直线