Question

（2010•江西模拟）经过曲线f（x）=ax³+bx上一点P（2，2），所作的切线的斜率为9，若y=f（x）得定义域为[-

3

2

，3]，则该函数的值域为

[-2，18]

．

Answer 1

分析：根据点在曲线上，以及在点P（2，2）的导数值等于9，可得到两个方程，联立的求得a，b的值，从而得到函数的解析式，然后求导数后令导函数等于0求出x的值，然后判断函数在端点和极值的大小即可得到函数在闭区间上的最值，从而得到值域．

解答：解：点P（2，2）在曲线y=ax³+bx
则：8a+2b=2
∵y'=3ax²+b
∴当x=2 时，12a+b=9
联立得：a=1，b=-3
∴y=x³-3x
∴y'=3x²-3，令3x²-3=0，x=±1
∵f（1）=1-3=-2，f（-1）=-1+3=2，f（3）=27-9=18，f（-

3

2

）=-

27

8

+

9

2

=

9

8

∴y=x³-3x在x∈[-

3

2

，3]的最大值为18，最小值为-2，即值域为[-2，18]
故答案为：[-2，18]．

点评：本题主要考查了利用导数研究在某点处的切线，以及利用导数求闭区间上函数的最值，同时考查了计算能力，属于中档题．