Question

16．命题“?k∈R，使直线y=kx+1与椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（b＞0）无公共点”为假命题，则实数b的取值范围是b≥1且b≠2．

Answer 1

分析 利用已知条件转化为直线y=kx+1与椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1恒有公共点，由于直线y=kx+1恒过点M（0，1），只要M（0，1）在椭圆的内部或在椭圆上．

解答 解：由于直线y=kx+1恒过点M（0，1）
要使直线y=kx+1与椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1恒有公共点，则只要M（0，1）在椭圆的内部或在椭圆上
从而有$\left\{\begin{array}{l}b＞0\\ b≠2\\ \frac{0}{4}+\frac{1}{{b}^{2}}≤1\end{array}\right.$，解可得b≥1且b≠2
故答案为：b≥1且b≠2．

点评 本题主要考查了直线与椭圆的相交关系的应用，考查转化思想的应用，解题的关键是要看到直线y=kx+1恒过定点（0，1），要使直线y=kx+1与椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1恒有公共点，则只要M（0，1）在椭圆的内部或在椭圆上，解答中容易漏掉b≠2的限制条件．