Question

已知M为圆C：x²+y²-4x-14y+45=0上任一点，且点Q（-2，3）．
（Ⅰ）若P（a，a+1）在圆C上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率；
（Ⅱ）求|MQ|的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（I）由已知中P（a，a+1）在圆C上，代入即可得到一个关于a的一元二次方程，解方程求出满足条件 的a值，代入两点确定直线的斜率公式，即可求出答案．
（II）由已知中圆C：x²+y²-4x-14y+45=0我们可以求出圆的标准方程，进而求出圆心坐标及半径，及CQ的长度，进而得到|MQ|的最大值和最小值．

解答：解：（Ⅰ）由点P（a，a+1）在圆C上，
可得a²+（a+1）²-4a-14（a+1）+45=0，所以a=4，P（4，5）．
所以|PQ|=

(4+2)2+(5-3)2

=2

10

，KPQ=

3-5

-2-4

=

1

3

．（6分）
（Ⅱ）由C：x²+y²-4x-14y+45=0可得（x-2）²+（y-7）²=8．
所以圆心C坐标为（2，7），半径r=2

2

．
可得|QC|=

(2+2)2+(7-3)2

=4

2

，
因此|MQ|max=4

2

+2

2

=6

2

，|MQ|min=4

2

-2

2

=2

2

．（12分）

点评：本题考查的知识点是直线和圆的方程的应用，其中将圆C的一般方程，化为标准方程，进而求出圆心坐标及半径是解答本题的关键．