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已知点P(0,5)及圆C:x2+y2+4x-12y+24=0,若直线l过点P且被圆C截得的线段AB长为4
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(Ⅰ)求直线l的方程;
(Ⅱ)设直线l与圆C交于A、B两点,求以线段AB为直径的圆Q方程.
分析:(I)求圆C的方程:x2+y2+4x-12y+24=0,我们可以求出圆心C的坐标和圆的半径r,结合直线l被圆C截得的线段AB长,代入圆的弦长公式,可得弦心距d,再由点到直线距离公式,可求出直线l的斜率,由直线l过点P,可得直线的点斜式方程.解答时要注意直线l的斜率不存在时,也满足题意.
(II)由(I)分直线l的斜率不存在时,和直线l的斜率存在时,两种情况,分析求出圆心坐标,结合线段AB长为4
3
(圆的直径)得到答案.
解答:解:(Ⅰ)由已知得(x+2)2+(y-6)2=16
∴圆C的圆心C(-2,6),半径为4.…(2分)
由已知|AB|=4
3
,|AC|=4.精英家教网
设D是线段AB的中点,则CD⊥AB,
∴|AD|=2
3

在Rt△ACD中,可得|CD|=2.…(4分)
设所求直线l的斜率为k,则直线l的方程为:y-5=kx,
即kx-y+5=0.由点C到直线AB的距离公式:
|-2k-6+5|
k2+1
=2,得k=
3
4
,…(7分)
此时直线l的方程为3x-4y+20=0.
又直线l的斜率不存在时,也满足题意,此时方程为x=0.
∴所求直线l的方程为x=0或3x-4y+20=0.…(10分)
(Ⅱ)直线l的方程为x=0时,圆心为(0,6),半径为
1
2
|AB|=2
3

所以圆Q方程为x2+(y-6)2=12.…(12分)
直线l的方程为3x-4y+20=0时,AB中垂线方程为4x+3y+m=0.
又AB中垂线方程过圆C的圆心C(-2,6),
所以4×(-2)+3×6+m=0,即m=-10,
所以AB中垂线方程为4x+3y-10=0,
所以线段AB中点D(-0.8,4.4),半径为
1
2
|AB|=2
3

所以圆Q方程为(x+0.8)2+(y-4.4)2=12.…(15分)
点评:本题考查的知识点是直线与圆的位置关系,求直线的方程,求圆的方程,难度不大,属于基础题.
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(2)求过P点的⊙C的弦的中点轨迹方程.

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3
时,求直线l的方程;
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,求ι的方程;
(2)求过P点的⊙C的弦的中点轨迹方程.

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