Question

25、已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，E，F，G分别是AB，BC，B₁C₁的中点．下列命题正确的是

②③④

（写出所有正确命题的编号）．
①以正方体的顶点为顶点的三棱锥的四个面最多只有三个面是直角三角形；
②P在直线FG上运动时，AP⊥DE；
③Q在直线BC₁上运动时，三棱锥A-D₁QC的体积不变；
④M是正方体的面A₁B₁C₁D₁内到点D和 C₁距离相等的点，则M点的轨迹是一条线段．

Answer 1

分析：画出正方体图形，
①以正方体的顶点为顶点的三棱锥的四个面最多只有三个面是直角三角形；作出反例否定①；
②P在直线FG上运动时，AP⊥DE；如图（2）DE⊥平面FGP，可得结论；
③Q在直线BC₁上运动时，三棱锥A-D₁QC的体积不变；如图（2）三角形AD1Q面积不变，C到平面距离不变，体积为定值．

解答：解：画出图形，如图（1）四个面都是直角三角形，①不正确．
②P在直线FG上运动时，AP⊥DE；如图（2）DE⊥平面FGP，可得结论；正确．
③Q在直线BC₁上运动时，三棱锥A-D₁QC的体积不变；如图（2）三角形AD1Q面积不变，
C到平面距离不变，体积为定值．
④M是正方体的面A₁B₁C₁D₁内到点D和 C₁距离相等的点，则M点的轨迹是一条线段．线段A₁D₁满足题意．
故答案为：②③④．

点评：本题考查棱锥的结构特征，四种命题的真假关系，轨迹方程，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是基础题．