Question

三棱锥P-ABC中，M、N、K分别是△PAB，△PBC，△PAC的重心，S_△ABC=18．
（1）求证：MN

∥

.

1

3

AC；
（2）求S_△MNK．

Answer 1

考点：棱锥的结构特征

专题：计算题,证明题,空间位置关系与距离

分析：（1）连接PM，延长交AB于D，连接PN，延长交BC于E，连接DE，运用重心性质，以及中位线定理，平行线分线段成比例的判定定理，即可得证；
（2）运用三角形相似的判定定理，证得△MNK∽△ACB，再由面积之比等于相似比的平方，即可得到结论．

解答： （1）证明：连接PM，延长交AB于D，
连接PN，延长交BC于E，连接DE，
由于M，N为△PAB，△PBC的重心，则D，E均为中点，
在△ABC中，DE∥AC，DE=

1

2

AC，
由于

PM

PD

=

PN

PE

=

1

3

，
则MN∥DE，MN=

1

3

DE，
则有MN

∥

.

1

3

AC；
（2）由（1）得，MN∥AC，MN=

1

3

AC，
同理可得，MK∥BC，MK=

1

3

BC，
NK∥AB，NK=

1

3

AB，
则△MNK∽△ACB，
即有S_△MNK：S_△ABC=1：9，
由于S_△ABC=18，则S_△MNK=18×

1

9

=2．

点评：本题考查空间直线与直线的位置关系，考查三角形重心的性质及运用，考查三角形相似的判定和性质，属于中档题．