Question

【题目】设函数f（x）=|2x﹣a|， （Ⅰ）若a=4，求f（x）≤x的解集；
（Ⅱ）若f（x+1）＞|2﹣a|对x∈（0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）若a=4，则f（x）≤x可化为|2x﹣4|≤x， 法1：即 或 ，
解得 ，
所以f（x）≤x的解集为 ；
法2：即 ，
解得 ，
所以f（x）≤x的解集为 ；
法3：即 ，
即 解得 ，
所以f（x）≤x的解集为 ；
（Ⅱ）法1：f（x+1）＞|2﹣a|对x∈（0，+∞）恒成立
即f（x+1）＞f（1）对x∈（0，+∞）恒成立，
又因为f（x）=|2x﹣a|在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 解得a≤2，
所以实数a的取值范围为（﹣∞，2]；
法2：f（x+1）＞|2﹣a|对x∈（0，+∞）恒成立
即|2x+2﹣a|＞|2﹣a|对x∈（0，+∞）恒成立
等价于（2x+2﹣a）2＞（2﹣a）2对x∈（0，+∞）恒成立，
即a＜2+x对x∈（0，+∞）恒成立，
所以a≤2
所以实数a的取值范围为（﹣∞，2]
【解析】（Ⅰ）法一：通过讨论2x﹣4的范围，得到关于x的不等式组，解出取并集；法二：根据题意得出x≥0，再去绝对值即可，法三：根据题意得出x≥0，两边平方解出即可；（Ⅱ）法一：问题转化为f（x+1）＞f（1）对x∈（0，+∞）恒成立，结合函数的单调性问题，求出a的范围即可；法二：等价于（2x+2﹣a）2＞（2﹣a）2对x∈（0，+∞）恒成立，求出a的范围即可．
【考点精析】认真审题，首先需要了解绝对值不等式的解法(含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号)．