Question

【题目】已知函数f（x）= x2﹣（a2﹣a）lnx﹣x（a＜0），且函数f（x）在x=2处取得极值．
（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若x∈[1，e]，f（x）﹣m≤0成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f′（x）=x﹣ ﹣1，f′（2）=0，得a=﹣1或a=2（舍去）

经检验，当a=﹣1时，函数f（x）在x=2处取得极值．

a=﹣1时，f（x）= x2﹣2lnx﹣x，f′（x）=x﹣ ﹣1，

则f（1）=﹣ ，f′（1）=﹣2，

所以所求的切线方式为y+ =﹣2（x﹣1），

整理得4x+2y﹣3=0；

（2）解：问题转化为：求f（x）在区间[1，e]上的最大值：

x	1	（1，2）	2	（2，e）	e
f'（x）		﹣	0	+
f（x）		↘	最小值	↗

比较 ，

所以 ，即

【解析】（1）求出函数的导数，求出a的值，从而求出f（x）的表达式，求出切线方程即可；（2）问题转化为：求f（x）在区间[1，e]上的最大值，根据函数的单调性求出f（x）的最大值，从而求出m的范围即可．
【考点精析】本题主要考查了函数的最大(小)值与导数的相关知识点，需要掌握求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能正确解答此题．