Question

设0＜x＜1，a＞0且a≠1，试比较|log_a(1－x)|与|log_a(1＋x)|的大小．

Answer 1

解法一：作差法

|log_a(1－x)|－|log_a(1＋x)|=| |－||=(|lg(1－x)|－|lg(1＋x)|)

∵0＜x＜1，∴0＜1－x＜1＜1＋x

∴上式=－[(lg(1－x)＋lg(1＋x)]=－·lg(1－x²)

由0＜x＜1，得，lg(1－x²)＜0，∴－·lg(1－x²)＞0，

∴|log_a(1－x)|＞|log_a(1＋x)|

解法二：作商法

=|log_(1－x)(1＋x)|

∵0＜x＜1，∴0＜1－x＜1＋x，∴|log_(1－x)(1＋x)|=－log_(1－x)(1＋x)=log_(1－x)

由0＜x＜1，∴1＋x＞1，0＜1－x²＜1

∴0＜(1－x)(1＋x)＜1，∴＞1－x＞0

∴0＜log_(1－x) ＜log_(1－x)(1－x)=1

∴|log_a(1－x)|＞|log_a(1＋x)|

解法三：平方后比较大小

∵log_a²(1－x)－log_a²(1＋x)=[log_a(1－x)＋log_a(1＋x)][log_a(1－x)－log_a(1＋x)]

=log_a(1－x²)·log_a=·lg(1－x²)·lg

∵0＜x＜1，∴0＜1－x²＜1，0＜＜1

∴lg(1－x²)＜0，lg＜0

∴log_a²(1－x)＞log_a²(1＋x)，即|log_a(1－x)|＞|log_a(1＋x)|

解法四：分类讨论去掉绝对值

当a＞1时，|log_a(1－x)|－|log_a(1＋x)|=－log_a(1－x)－log_a(1＋x)=－log_a(1－x²)

∵0＜1－x＜1＜1＋x，∴0＜1－x²＜1

∴log_a(1－x²)＜0，∴－log_a(1－x²)＞0

当0＜a＜1时，由0＜x＜1，则有log_a(1－x)＞0，log_a(1＋x)＜0

∴|log_a(1－x)|－|log_a(1＋x)|=|log_a(1－x)＋log_a(1＋x)|=log_a(1－x²)＞0

∴当a＞0且a≠1时，总有|log_a(1－x)|＞|log_a(1＋x)|