【题目】如图,正四面体ABCD中,异面直线AB与CD所成的角为_______,直线AB与底面BCD所成角的余弦值为_______.
【答案】90°
【解析】
取CD中点E,连接AE、BE,作AF⊥BE于点F,
空1:根据等腰三角形的性质,结合线面垂直的判定定理和性质进行求解即可;
空2:根据线面垂直的性质和判定定理,结合线面角定义、锐角三角函数定义进行求解即可.
取CD中点E,连接AE、BE,作AF⊥BE于点F.
空1:因为,所以CD⊥AE,CD⊥BE,
AEBE=E,平面ABE,∴CD⊥平面ABE,平面ABE,
∴CD⊥AB,∴异面直线AB与CD所成的角为90°;
空2:∵CD⊥平面ABE,平面ABE,∴CD⊥AF,又AF⊥BE,
平面BCD,∴AF⊥平面BCD,
∴∠ABF是直线AB与底面BCD所成角,
正四面体ABCD中,因为AF⊥平面BCD,所以点F是三角形BCD的中心,
设正四面体的棱长为a,所以
则.
故答案为:90°;
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【题目】已知圆与轴相切于点(0,3),圆心在经过点(2,1)与点(﹣2,﹣3)的直线上.
(1)求圆的方程;
(2)圆与圆:相交于M、N两点,求两圆的公共弦MN的长.
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【题目】为发挥体育在核心素养时代的独特育人价值,越来越多的中学已将某些体育项目纳入到学生的必修课程,甚至关系到是否能拿到毕业证.某中学计划在高一年级开设游泳课程,为了解学生对游泳的兴趣,某数学研究性学习小组随机从该校高一年级学生中抽取了100人进行调查,其中男生60人,且抽取的男生中对游泳有兴趣的占,而抽取的女生中有15人表示对游泳没有兴趣.
(1)试完成下面的列联表,并判断能否有的把握认为“对游泳是否有兴趣与性别有关”?
有兴趣 | 没兴趣 | 合计 | |
男生 | |||
女生 | |||
合计 |
(2)已知在被抽取的女生中有6名高一(1)班的学生,其中3名对游泳有兴趣,现在从这6名学生中随机抽取3人,求至少有2人对游泳有兴趣的概率.
(3)该研究性学习小组在调查中发现,对游泳有兴趣的学生中有部分曾在市级和市级以上游泳比赛中获奖,如下表所示.若从高一(8)班和高一(9)班获奖学生中各随机选取2人进行跟踪调查,记选中的4人中市级以上游泳比赛获奖的人数为,求随机变量的分布列及数学期望.
班级 | |||||||||||
市级比赛 获奖人数 | 2 | 2 | 3 | 3 | 4 | 4 | 3 | 3 | 4 | 2 | |
市级以上比赛获奖人数 | 2 | 2 | 1 | 0 | 2 | 3 | 3 | 2 | 1 | 2 |
0.500 | 0.400 | 0.250 | 0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【题目】(1)已知函数,函数的导函数为.
①求函数的定义域;
②求函数的零点个数.
(2)给出如下定义:如果是曲线和曲线的公共点,并且曲线在点处的切线与曲线在点处的切线重合,则称曲线与曲线在点处相切,点叫曲线和曲线的一个切点.试判断曲线:与曲线:是否在某点处相切?若是,求出所有切点的坐标;若不是,请说明理由.
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【题目】如图所示,在正方体中,点是棱上的一个动点,平面交棱于点.给出下列命题:
①存在点,使得//平面;
②对于任意的点,平面平面;
③存在点,使得平面;
④对于任意的点,四棱锥的体积均不变.
其中正确命题的序号是______.(写出所有正确命题的序号).
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【题目】如图,四棱柱中,底面是矩形,且, , ,若为的中点,且.
(Ⅰ)求证: 平面;
(Ⅱ)线段上是否存在一点,使得二面角的大小为?若存在,求出的长;若不存在,说明理由.
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【题目】设椭圆:的离心率为,椭圆上一点到左右两个焦点、的距离之和是4.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知过的直线与椭圆交于、两点,且两点与左右顶点不重合,若,求四边形面积的最大值.
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【题目】已知椭圆:的左、右焦点分别为,,过且与轴垂直的直线被椭圆和圆截得的弦长分别为2和.
(1)求的标准方程;
(2)已知动直线与抛物线:相切(切点异于原点),且与椭圆相交于,两点,问:椭圆上是否存在点,使得,若存在求出满足条件的所有点的坐标,若不存在,请说明理由.
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