Question

（2012•桂林模拟）已知A、B、P是直线l上三个相异的点，平面内的点O∉l，若正实数x、y满足4

OP

=2x

OA

+y

OB

，则

1

x

+

1

y

的最小值为

3

4

+

2

2

．

Answer 1

分析：由题意可得，

1

2

x+

1

4

y=1，而

1

x

+

1

y

=（

1

x

+

1

y

）（

1

2

x+

1

4

y），展开利用基本不等式即可求解

解答：解：A、B、P是直线l上三个点，且4

OP

=2x

OA

+y

OB

，
即

OP

=

1

2

x

OA

+

1

4

y

OB

∴

1

2

x+

1

4

y=1
∴

1

x

+

1

y

=（

1

x

+

1

y

）（

1

2

x+

1

4

y）
=

3

4

+

y

4x

+

x

2y

≥

3

4

+2

y 4x • x 2y

=

3

4

+

2

2

当且仅当

y

4x

=

x

2y

即y=

2

x
此时x=4-2

2

，y=4

2

-4时取等号
故答案为：

3

4

+

2

2

点评：本题主要考查了向量的共线定理的应用，基本不等式求解最值的应用，解题的关键是

1

2

x+

1

4

y=1