Question

9．设函数f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，其中向量$\overrightarrow{a}$=（m，cos2x），$\overrightarrow{b}$=（1+sin2x，1），x∈R，且y=f（x）的图象经过点（$\frac{π}{4}，2$）．
（1）求实数m的值；
（2）若锐角α满足f（α）=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求tan$\frac{4}{7}$α的值．

Answer 1

分析 （1）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则列出f（x）解析式，把已知点坐标代入求出m的值即可；
（2）由m的值及（1）确定出f（x）解析式，根据锐角α满足f（α）=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求出α的度数，代入原式计算即可得到结果．

解答 解：（1）∵函数f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，且$\overrightarrow{a}$=（m，cos2x），$\overrightarrow{b}$=（1+sin2x，1），
∴f（x）=m（1+sin2x）+cos2x=msin2x+cos2x+m，
把（$\frac{π}{4}$，2）代入得：2=m+m，即m=1；
（2）由（1）得：f（x）=sin2x+cos2x+1=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+1，
∵f（α）=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\sqrt{2}$sin（2α+$\frac{π}{4}$）+1=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即sin（2α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{2}$，
∵α为锐角，
∴2α+$\frac{π}{4}$=$\frac{5π}{6}$，即α=$\frac{7π}{24}$，
则tan$\frac{4}{7}$α=tan$\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及平面向量的数量积运算，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．