Question

3．已知函数f（x）=（2ax-x²）e^ax（a≥0）
（Ⅰ）若函数f（x）在区间$（\sqrt{2}，2）$上单调递减，求实数a的取值范围．
（Ⅱ）若函数f（x）在区间$（\sqrt{2}，2）$上存在单调递减区间，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意等价转化为函数在区间上恒成立问题，最终归结为求函数在定义域下求最值．
（Ⅱ）由题意等价转化为函数在区间上能成立问题，最终归结为求函数在定义域下求最值．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=（2ax-x²）e^ax（a≥0）在区间$（\sqrt{2}，2）$上单调递减，
f′（x）=[-ax²+（2a²-2）x+2a]e^ax，
由函数f（x）在区间（$\sqrt{2}$，2）上单调递减可知：f′（x）≤0对任意x∈（$\sqrt{2}$，2）恒成立，
当a=0时，f′（x）=-2x，显然f′（x）≤0对任意x∈（$\sqrt{2}$，2）恒成立；
当a＞0时，f′（x）≤0等价于ax²-（2a²-2）x-2a≥0，
因为x∈（$\sqrt{2}$，2），不等式ax²-（2a²-2）x-2a≥0等价于x-$\frac{2}{x}$≥$\frac{{2a}^{2}-2}{a}$对任意的x∈（$\sqrt{2}$，2）恒成立．
令g（x）=x-$\frac{2}{x}$，则g′（x）=1+$\frac{2}{{x}^{2}}$，在[$\sqrt{2}$，2]上显然有g′（x）＞0恒成立，
所以函数g（x）在[$\sqrt{2}$，2]单调递增，所以g（x）在x∈[$\sqrt{2}$，2]，上的最小值为g（$\sqrt{2}$）=0．
由于f′（x）≤0对任意x∈（$\sqrt{2}$，2），恒成立等价于x-$\frac{2}{x}$对任意x∈（$\sqrt{2}$ 2）上恒成立，
需且只需g（x）_min≥$\frac{{2a}^{2}-2}{a}$，即0≥$\frac{{2a}^{2}-2}{a}$，解得-1≤a≤1，因为a＞0，所以0＜a≤1．
综合上述，若函数f（x）在区间（$\sqrt{2}$，2），上单调递减，则实数a的取值范围为0≤a≤1．
（Ⅱ）若函数f（x）在区间$（\sqrt{2}，2）$上存在单调递减区间，
故f′（x）=[-ax²+（2a²-2）x+2a]e^ax ＜0在（$\sqrt{2}$，2）上能成立，
当a=0时，f′（x）=-2x，显然f′（x）＜0在（$\sqrt{2}$，2）上恒成立，满足条件．
当a＞0时，f′（x）＜0等价于ax²-（2a²-2）x-2a＞0，
等价于x-$\frac{2}{x}$＞$\frac{{2a}^{2}-2}{a}$在（$\sqrt{2}$，2）上能成立．
令g（x）=x-$\frac{2}{x}$，则g′（x）=1+$\frac{2}{{x}^{2}}$，在[$\sqrt{2}$，2]上显然有g′（x）＞0能成立，
所以函数g（x）在[$\sqrt{2}$，2]单调递增，所以g（x）在x∈[$\sqrt{2}$，2]，上的最大值为g（2）=1．
由于f′（x）＜0在（$\sqrt{2}$，2）上能成立，等价于1＞$\frac{{2a}^{2}-2}{a}$，
求得$\frac{1-\sqrt{17}}{4}$＜a＜$\frac{1+\sqrt{17}}{4}$．
结合可得0≤＜a＜$\frac{1+\sqrt{17}}{4}$．

点评 此题主要考查函数的恒成立、能成立问题，利用导数研究函数的单调性，求函数的最值，体现了等价转化的数学思想，属于难题．