【题目】设为实数,函数.
(1)若,求的取值范围;
(2)讨论的单调性;
(3)当时,讨论在区间内的零点个数.
【答案】(1) .
(2) 在上单调递增,在上单调递减.
(3) 当时,有一个零点;当时,有两个零点.
【解析】
试题分析:(1)先由可得,再对的取值范围进行讨论可得的解,进而可得的取值范围;(2)先写函数的解析式,再对的取值范围进行讨论确定函数的单调性;(3)先由(2)得函数的最小值,再对的取值范围进行讨论确定在区间内的零点个数.
试题解析:(1),因为,所以,
当时,,显然成立;当,则有,所以.所以.
综上所述,的取值范围是.
(2)
对于,其对称轴为,开口向上,
所以在上单调递增;
对于,其对称轴为,开口向上,
所以在上单调递减.
综上所述,在上单调递增,在上单调递减.
(3)由(2)得在上单调递增,在上单调递减,所以.
(i)当时,,
令,即().
因为在上单调递减,所以
而在上单调递增,,所以与在无交点.
当时,,即,所以,所以,因为,所以,即当时,有一个零点.
(ii)当时,,
当时,,,而在上单调递增,
当时,.下面比较与的大小
因为
所以
结合图象不难得当时,与有两个交点.
综上所述,当时,有一个零点;当时,有两个零点.
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【题目】已知二次函数f(x)的最小值为1,且f(0)=f(2)=3.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若f(x)在区间[2a,a+1]上不单调,求实数a的取值范围;
(3)在区间[-1,1]上,y=f(x)的图象恒在y=2x+2m+1的图象上方,试确定实数m的范围.
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【题目】在每年的3月份,濮阳市政府都会发动市民参与到植树绿化活动中去林业管理部门为了保证树苗的质量都会在植树前对树苗进行检测,现从甲、乙两种树苗中各抽测了株树苗,量出它们的高度如下(单位:厘米),
甲:37,21,31,20,29,19,32,23,25,33;
乙:10,30,47,27,46,14,26,10,44,46.
(1)画出两组数据的茎叶图并根据茎叶图对甲、乙两种树苗的高度作比较,写出两个统计结论;
(2)设抽测的株甲种树苗高度平均值为,将这株树苗的高度依次输人,按程序框(如图)进行运算,问输出的大小为多少?并说明的统计学意义,
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【题目】某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,随机抽取了个试销售数据,得到第个销售单价(单位:元)与销售(单位:件)的数据资料,算得
(1)求回归直线方程;
(2)预计在今后的销售中,销量与单价仍然服从(1)中的关系,且该产品的成本是元/件,为使工厂获得最大利润,该产品的单价应定为多少元?(利润-销售收入-成本)
附:回归直线方程中,,其中是样本平均值.
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【题目】已知直线()与轴交于点,动圆与直线相切,并且与圆相外切,
(1)求动圆的圆心的轨迹的方程;
(2)若过原点且倾斜角为的直线与曲线交于两点,问是否存在以为直径的圆经过点?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】如果一个几何体的主视图与左视图是全等的长方形,边长分别是,如图所示,俯视图是一个边长为的正方形.
(1)求该几何体的表面积;
(2)求该几何体的外接球的体积.
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【题目】已知过抛物线的焦点,斜率为的直线交抛物线于两点,且.
(1)求该抛物线的方程;
(2)已知抛物线上一点,过点作抛物线的两条弦和,且,判断直线是否过定点?并说明理由.
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【题目】某校高二年级进行了百科知识大赛,为了了解高二年级900名同学的比赛情况,现在甲、乙两个班级各随机抽取了10名同学的成绩,比赛成绩满分为100分,80分以上可获得二等奖,90分以上可以获得一等奖,已知抽取的两个班学生的成绩(单位:分)数据的茎叶图如图1所示:
(1)比较两组数据的分散程度(只需要给出结论),并求出甲组数据的频率分布直方图如图2中所示的值;
(2)现从两组数据中获奖的学生里分别随机抽取一人接受采访,求被抽中的甲班学生成绩高于乙班学生成绩的概率.
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